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SVD分解是机器学习中常用的矩阵分解手段，是"方阵特征分解"在非方阵上的拓展
本文介绍SVD分解的定义，以及SVD中U,S,V各个矩阵的意义，并进一步解释SVD的意义
从本文可以了解SVD是个什么东西，有什么用，以及如何从几何角度理解它的意义
本节初步介绍什么是SVD分解及其定义
什么是SVD分解
SVD全称为Singular Value Decomposition奇异值分解
它一般被认为是"方阵特征分解"在非方阵上的拓展
它与方阵的矩阵对角化、特征值相对应，弥补非方阵不能进行特征值分解的不足
SVD分解的定义
对于矩阵A，将其分解为、 和 三个矩阵，如下
其中，
：的酉矩阵
：半正定对角矩阵
：的酉矩阵
(1) 通常 对角元素由大到小排序，这样 、和是唯一的
(2) 对角线上的元素称为A的奇异值
这样的分解与方阵的奇异值分解相对应，属于基于方阵奇异值分解的拓展
SVD分解的代码实现
在python中可以通过numpy来对矩阵进行SVD分解
具体代码示例如下：
import numpy as np
A = np.array([[2,3,4], [5,1, 1]]) # 要分解的矩阵A
U,S,VT = np.linalg.svd(A) # 对矩阵A进行SVD分解
print('U:',U) # 分解后的U
print('S:',S) # 分解后的S
print('VT:',VT) # 分解后的V^T代码运行结果如下：
易验证，
本节讲解SVD分解出来的U、Σ、V的意义，及几何意义
SVD分解-U、Σ、V的意义
由易得：
值得注意的是：
👉与 都是对称方阵
👉与 分别是与的对角矩阵
由以上两式可易知
分别是 与的 对角化矩阵
也即 为 的特征向量组成的矩阵
为的特征向量组成的矩阵，
对角元素是两者特征值的开方
SVD的几何意义
与方阵的对角化相对应，
SVD也是提供了以变换的角度来看待非方阵矩阵A的本质
知识准备
从 可得：
(1)
(2)
（2)式的推导过程如下
需要注意的是，
U和V都是酉矩阵，都可以代表一组正交标准基。
U 代表一个m维空间的正交标准基
V 代表一个n维空间的正交标准基
A作为变换的意义
从 可知,
A把V所代表的n维空间的每个基，
映射到U所代表的m维空间中m个基中的n个基，并作伸缩
这就意味着对所作的变换就是，
把在中的坐标为的
映射为在的坐标为 的
作为变换的意义
同样的，从可知
把 U 所代表的m维空间的m个基，
映射到 V 所代表的n维空间的每个基,
其中，在 U中只有前n个基，
分别一一对应 V中的n个基，并且 作 伸缩，
而其余的则映射到0中
好了，以上就是SVD分解与它的意义了~
End
