本站原创文章，转载请说明来自《老饼讲解-机器学习》www.bbbdata.com
本文讲解分块矩阵求逆时的公式及其推导
本文提供了两种公式形式，及它们各种的详细推导过程
本节展示分块矩阵求逆的公式，共两种形式
分块矩阵的求逆公式
矩阵A分块如下
记A的逆为B
则B共有两种公式表示
必要条件：需要A11，A22的逆存在
分块矩阵-求逆公式(形式一)
其中，
分块矩阵-求逆公式(形式二)
其中，
本节展示分块矩阵求逆公式形式一的详细推导进程
形式一推导过程
设 是A的逆
则有
展开即有 ：
(1)
(2)
(3)
(4)
1. 用(2)(4)式共同消掉B12,从而求得B22
2. 将B22代入(2)式求得B12
备注：(2)式右边为0，比(4)式更简洁，故代入(2)而不是(4)
3. 用(1)(3)式消掉B11,从而求得B21
注意到与 有共同元素，可以用简化：
✍️备注
第4个等式乘以 是为了去掉逆矩阵
不选择是因为在求时已经使用了的逆，消或不消没有太大意义
4. 将B21代入(1)式求得B11
✍️备注
代入(3)式，结果需要求A21的逆，故代入(1)式
(1)式虽然要求的逆，但的逆在其它式中已经使用了，并不增加计算量
结果整理
统一记 为，则整理可得
最终得到
其中
本节展示分块矩阵求逆公式形式二的详细推导进程
形式二推导过程
设 是A的逆
则有
展开即有 ：
(1)
(2)
(3)
(4)
1. 用(1)(3)式共同消掉B21,从而求得B11
2. 将B11代入(3)式求得B21
3. 用(2)(4)式消掉B22 ,从而求得B12
4. 将B12代入(4)式求得B22
结果整理
统一记 为
则有
最终得到：
其中
参考文献：【1】《分块矩阵求逆公式及证明》：https://www.doc88.com/p-1935040612981.html (备注：文中第二种形式是错误的)
End