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矩阵的迹一般用tr表示，它代表矩阵主对角元素的和，同时也是所有特征值之和
本文讲解矩阵迹的定义，以及矩阵迹的一些常用公式与用途，并给出迹的相关公式证明
通过本文，可以了解矩阵的迹是什么，以及矩阵迹的常用运算法则及其推导过程
本节讲解矩阵迹的定义，以及迹的常用运算
矩阵的迹是什么
矩阵迹的定义
矩阵的迹用tr表示，矩阵的迹是矩阵主对角元素之和
例如，A的迹表示为，它代表A的主对角元素之和：
特别地，可以证明，矩阵A的迹也是A的所有特征值之和
迹的常用公式
矩阵迹的运算
矩阵迹的常用运算如下：
1. 迹内两者可交换 ：
2. 迹内多者可循环 ：
3. 迹可线性分解 ：
矩阵迹的特殊用法
相当于 A与B对应元素相乘再求总和
即如下：
其中，是哈达玛(Hadamard)积，即矩阵对应元素相乘
该公式双向都是常用的，在实际计算时，常常把转换为来计算，更加简洁
而在证明定理时，又往往喜欢把转换为，这样可以利用迹的运算公式来辅助证明
本节对上节的运算法则进行证明
迹的运算法则证明
迹内两者可交换
证明
证明：
方法一：
AB第i个对角元素为, 则所有对角线元素之和为：
BA 第i个对角元素为,则所有对角线元素之和为：
即AB与BA对角元素之和一致，即迹一致
方法二：
式中 是因为的意义 是A和对应元素相乘后求和
则两者同时转置并不影响对应关系
迹内多者可循环
证明
证明：
1.
2.
迹可线性分解
证明
证明：
好了，以上就是矩阵迹的定义以及常用的运算公式了~
End